ニコニコ動画の仕様変更でInternet Explorer 10以下のブラウザでしか保存できなくなりました
しかしユーザーエージェントを下の文字列に設定すれば他のブラウザでも保存することが出来ます

Mozilla/5.0 (compatible; MSIE 10.0; Windows NT 6.1; WOW64; Trident/6.0)

初心者向け動画保存のやり方の一覧

Internet Explorer 11での保存方法はこちら

Edgeでの保存方法はこちら

Safariでの保存方法はこちら

Chromeでの保存方法はこちら

Firefoxでの保存方法はこちら

上級者向け高画質動画保存のやり方の一覧

iPhone iPad iPodでの保存方法はこちら

Androidでの保存方法はこちら

Windows Mac Linux ChromeOSでの保存方法はこちら

初心者向けのやり方はソフトを入れたくない人向けでブラウザだけで出来ますが面倒で低画質でちょっと難しいです
上級者向けのやり方はiOS以外はFirefoxを導入する必要がありますが面倒くさくなくて高画質で簡単です
なので上級者向けのやり方の方を推奨します。初心者向けのやり方は絶対にソフトを入れたくない人向けです
とりあえずソフトを入れずに保存したいならInternet Explorer 11が一番簡単に保存できます
Windows10だとスタートメニューのWindows アクセサリの所にInternet Explorer 11があります

ニコニコ動画のプレミアム会員の人で保存出来ない場合は保存する前にニコニコ動画でログアウトして下さい
ブラウザの機能のプライバシーモードを使えば一時的にログアウト状態にすることが出来ます

下のリンクにカーソルを合わせて でどうぞ。上から順に試してください。

この枠の中にMP3/M4A/WAVに変換したいFLV/MP4/SWFファイルをドラッグ&ドロップ