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波動方程式の解のエネルギーについて、時間無限大の極限において運動エネルギーとポテンシャルエネルギーが全エネルギーのちょうど半分ずつの値に収束するというエネルギー等分配の性質を証明します。

参考文献
[1] A. R. Brodsky, On the asymptotic behavior of solutions of the wave equations, Proc. Amer. Math. Soc. 18 (1967), 207--208.
この原論文ではより一般のKlein-Gordon型の方程式に対して、Fourier変換を使う方法でエネルギー等分配が示されています。

教科書での参考文献としては以下の2つがあります。
[2] L. C. Evans, Partial Differential Equations, Second Edition, American Mathematical Society, 2010.
[3] F. Linares, G. Ponce, Introduction to Nonlinear Dispersive Equations, Second Edition, Springer, 2015.
これらの本の演習問題としてBrodskyの結果が証明されています。
この動画では、[2]にある方針で、演習問題の仮定を少しだけ弱めた形（初期値の台のコンパクト性を仮定しない形）で証明を与えました。

ご質問への回答
「ここまでずっと空間1次元な系の話題だけど2,3次元だと成り立たない定理もあるんですか？」
まず、これまで見てきたエネルギー保存、有限伝播性や今回のエネルギー等分配は2次元以上でも成立します。
ただし、次元が上がるにつれて、初期値に必要な滑らかさの仮定が強くなっていきます。
ここは1次元の場合と異なると言えます。
（2,3次元では、C^2級の解を得るのにu_0はC^3級, u_1はC^2級必要、といった具合です）
他に次元に応じて変わる有名な性質としては、Huygensの原理（3以上の奇数次元でのみ成立）があります。
これはそのうち動画でも紹介しようと思っています。

http://www.nicovideo.jp/watch/sm40816523

steam版の勇者30および勇者30secondをプレイしていく動画です

part1→sm43347803

youtube→https://youtu.be/Hu1Cp25hhvI

動画内で使用してるキャラクターはblueberry様よりお借りしております
結月ゆかり
https://seiga.nicovideo.jp/seiga/im5854897
琴葉姉妹
https://seiga.nicovideo.jp/seiga/im5985123
紲星あかり
https://seiga.nicovideo.jp/seiga/im7720502

http://www.nicovideo.jp/watch/sm43415440

7/22にver1.38緊急アップデートが入ったという事でそれまで撮影していた天上階対戦のマッチアップを公開します(7月末にアプデ来る予想だったので公開遅くなり申し訳ありませんでした…)。ワイルドアサルトWB関係などは現行バージョンと少し変わりますが、その点ご留意の上、立ち回りなど参考にして頂ければ幸いです。※シーズン３動画の再掲になります。

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http://www.nicovideo.jp/watch/sm46206462

ついにクッパ城へ！part16→sm4709545まとめ→mylist/7372031

http://www.nicovideo.jp/watch/sm4665532

誰も知らないゲームについうっかりハマってしまったので実況してみた。
steamにて9.99$で購入できます。

同じようなsteamマイナーゲーの「I-Fluid」実況:→sm5688821
普段はジョーズの実況を主にやっています。もしよろしければそちらもご覧ください。
●ジョーズ実況:part01→sm5115301　　●マイリスト→mylist/9337242
ホームページ：http://www.geocities.jp/miyagawa7650/

http://www.nicovideo.jp/watch/sm5229474

■ちょろＰがうるさい
■神(このゲーム持ってきてくれたよ):アニキ:ちょろｐ
■　sm18704808←前　次→sm18750165
■マイリスmylist/33301383
■part1集めてみた→mylist/33256029

http://www.nicovideo.jp/watch/sm18713965

ゲームパッドが壊れかけてる・・右と上が同時押しになってツタから飛び移り辛い
前→sm23859755　次→sm23971682　マイリスト→mylist/42466726

http://www.nicovideo.jp/watch/sm23956107

名古屋で芸人をやっています。全力フィルダースチョイスというコンビの杉山祐介です。

先輩から牛丼買ってきてと言われたら、お持ち帰り時に店員さんにたくさん紅しょうがをお願いしていました。その紅しょうがは先輩に一つも渡さずにカバンに隠して持って帰りましたね。本当にしょうがないやつですわ。
店員さんにたくさんくださいと言っているので規定値の限界のはずです。

全力フィルダースチョイス 第2回単独ライブ 「二直 -SECOND LINER-」
2020年2月2日(日)
①12時半開場13時開演 ②15時半開場16時開演
会場:PICO2(名古屋市北区山田1-1-43 @minithater_Pico)
料金:前売2000円 当日2500円
ご予約は ux.nu/DKqk7 リプライでも！

［レギュラー番組］
毎週木曜日19時30分よりmidfm761にて
全力フィルダースチョイスの全力ラジオ宣言
midfm761　http://midfm761.com/

仕事のご依頼は全力フィルダースチョイスのホームページからお願いします。
全力フィルダースチョイスホームページ　https://peraichi.com/landing_pages/view/zfc
杉山祐介Twitter　https://twitter.com/potenhit
杉山祐介Facebook　https://www.facebook.com/

http://www.nicovideo.jp/watch/sm36101780

前→sm38316777
次→sm38332288


おしおきしたいわがままボディ女子大生


■パルフェ マイリス
mylist/70579740

■実況Part1マイリス
mylist/67333668

■ようつべ
https://youtu.be/-6Dbuz2Ojgo

http://www.nicovideo.jp/watch/sm38322320

冬眠から覚めたので。
青森県野辺地駅からスタート、お隣の東北町にある清水目ダムに行ってきました。
2023/09/18(月)　晴れのち曇り　最高32℃　最低23℃
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▼VOICEVOX
・ずんだもん
https://voicevox.hiroshiba.jp/
▼COEIROINK
・つくよみちゃん
https://coeiroink.com/
▼BGM素材
・MusMus　様
https://musmus.main.jp/
・Second Fruits（セカンドフルーツ）
https://yougou.sonnabakana.com/kikaku/sf/sf.html
・夢にみた緑（遊句 様）
https://yougou.sonnabakana.com/
▼立ち絵素材
・ほずみ　様
https://seiga.nicovideo.jp/seiga/im10922472
・夜刀　様
https://seiga.nicovideo.jp/seiga/im10864051
=================================================
◆ロードバイク：HILAND NEW Alliance HIR7003 700C
◆サイクルコンピューター：iGPSPORT BSC300
◆主な撮影機材(360度カメラ)：Insta360 X3
◆動画編集：ゆっくりMovieMaker4 Lite

http://www.nicovideo.jp/watch/sm42819027

※デモカメラOFF・エフェクト簡略化

5面が悲惨なことになってます。
1面～3面：sm11909131

http://www.nicovideo.jp/watch/sm11909230

はい、バイト初めて結構辛いです系ふーど弐号機です、
きっと二週間ぶりのモンハン上げ…のハズ。
　プレイヤ
　　ふーど弐号機:それGEや別ゲーよ
　　テリー:今回の画面主、煽りは楽しい
　　シノン:雑魚は装備を整えなければ気が済まない
上げるの遅くなったのはバイトのせいですﾜﾀｼﾊﾜﾙｸﾅｲ
前sm21499427次sm21768145
　mylist
　　part1　mylist/34322444
　　MHP３rd　mylist/38200946
Twitter→＠daikonn_exe_126
メール→[email protected]

http://www.nicovideo.jp/watch/sm21662184

ケチャップの絵なんて左手だけで手術するのと比べたら簡単なもんやし

http://www.nicovideo.jp/watch/sm24347230

247話～257話まで

※うｐ主は作者ではありません
問題があればすぐに削除します

sm36653213←前　次→ sm36959725

シン劇わいど☆→mylist/63923939
その他→mylist/54305854

BGM 「ARIA The NATURAL」より
0:00～ 夏の妖精
2:13～ 運河はめぐる
4:21～ アリアの憂鬱
6:21～ Second Season～出会い～
7:18～ Samba de AQUA
9:28～ いつか来た道

http://www.nicovideo.jp/watch/sm36800396

マーヴェリック面白かったねー！！！！！　
って気持ちでジェームズのレビューを待ってたらなんか始まったので翻訳。FC二作目なんて出てたんだね…　

動画タイトル通りFC二作目の邦題は『トップガン デュアルファイターズ』ですが、言葉遊びが成立しないため動画中では原題の『The Second Mission』になってます。　

05:07 素でやらかした…グースとルースターが逆です。ごめん　

元動画→https://www.youtube.com/watch?v=nN8vTnT61zg　
ロルフ氏の収益のためにも、こちらの視聴もお願いいたします。

http://www.nicovideo.jp/watch/sm40565022

ぶっちゃけスクールランブル読んだの10年くらい前だから全然覚えてないです。
あと上野さんを臭い臭い書きすぎた気がする反省。上野さん大好きです。マジで。

■沢近愛理について
カレー

最初は播磨「君」なのいいよね！

お嬢はめんどくさいんですよ。生々しいめんどくささ。「はいはいツンデレ乙」じゃなくてはぁ～～こいつ...ってしっかりストレスがかかる。でも不快すぎないんですわ。そしてこれが後から効いてくる。

水着が黒ビキニ！当時のアルターさんからもフィギュア発売されてたんですね！この時代で金髪ツンデレツインテールで黒ビキニですよ！！！！時代を先取りしすぎている...恐るべし...これは週刊少年マガジンで出てたんすよ！！週刊少年誌！可愛すぎる...オタクくん狂っちまうよ...(拍手）

暴力もいいですね～やっぱりツンデレには多少の暴力は必要なんですよ！真顔飛び膝蹴りのシーン嫌いな人いないでしょ？主人公が髭だから多少の暴力は大丈夫でしょう。という安心感がある。子供の駄々っ子パンチ見ても不快にならないでしょ？可愛いでしょ？主人公が変に被害者面しすぎると暴力系ヒロインは不快に感じると思うのです。主人公なら多少は受け止めなさい。まぁ特に理由のない暴力はやめてほしいけど。でも髭は髭が色々やらかしてるからなぁ～沢近は仕方ないよ

アニメ版も好きだけどやっぱり漫画の絵が可（文字数制限にかかりました

＜引用元＞
■画像
・あみあみオンラインショップ PS2 パルフェ Chocolat Second Style カトレアセット
https://www.amiami.jp/top/detail/detail?gcode=GAME-0030381-R&srsltid=AfmBOop8to6yC41iO_D-IEHLw0ute7lrWkorN2vjxHOK_PA0uS8ZghYz

・ウェーブ パテ革命 モリモリ
https://www.hobby-wave.com/products/wks011-214/

・ワンダーフェスティバル 公式サイト
https://wonfes.jp/

・OKUMONO
https://sozaino.site

■音楽
・魔王魂
https://maou.audio/

・騒音のない世界
https://noiselessworld.net/

・効果音ラボ
https://soundeffect-lab.info/agreement/

・oo39ドットコム
https://oo39.com

http://www.nicovideo.jp/watch/sm45094844

基本2ループ。part9→sm15617238　　　mylist/27687145

http://www.nicovideo.jp/watch/sm15616852

やっと鳥Sいけた！どうも。樹海です
ということでSSS記念に撮ってきました

※自分以外の方へのコメントなどはお控えください。アドバイスなど頂けたら幸いです。

２までにGSいきたい...そしてリベリオンも

Next⇒sm22713076

first season.⇒mylist/36927926

http://www.nicovideo.jp/watch/sm22572435

【せつめい】
・Kenshi初見プレイ
・武術メイン
・ソロプレイ
・外国人

──────────────────────────

こんにち殺法！

毎回日本語間違ってて悲しいー
今回は100点取れますように

・ぱーと１：sm35004414
・まえ：sm35107727
・つぎ：sm35167985
・まいりすと：mylist/65347374

──────────────────────────

虹本カジノ さん　なす天 さん　ビークシング君 さん　ゲスト さん
がぼの実 さん　sena さん　ふぬけた さん　Lorica さん
アルハイルミッテルのミスティー さん　HAKUA(白鴉) さん
アサヒナ さん　elle さん　紅ウサギ さん　silvermoon さん
kanesada さん　hunk さん　くすす さん　danbo35 さん
Bamboo. さん　fuha さん　わいんぐらす さん　etarny さん
オルカス さん　おこめ さん　アズすん さん　Ｓｋｕｌｄ さん
second さん　首長目首長科首長属KBNGSG さん　胡麻まよ さん
のろ さん　鳥頭 さん　丹波文七 さん　aofuzi さん　nekopunch さん
ジャック＝フェザー さん　zasuwo さん　いまかつ さん　ひつまぶし さん
濃縮還元 さん　ゼロス さん　(´・(ｪ)・` ) さん　源ヨリマサ さん
万年ROM さん　枕草子 さん　minstrel さん　U1@だれかちゃん さん
T-8810 さん　とこなつ さん　可能性のナマケモノ さん　jhon-do さん
Kaname さん　おべたん さん　東郷 さん　沼ニャプター さん

広告ありがとう殺法！

http://www.nicovideo.jp/watch/sm35132002

第11回ボカロクラシカ音楽祭参加作品です
自由曲部門
テーマ：11です。

VOCALOID:巡音ルカ

フランソワ・クープラン　
　クラヴサン曲集第2巻　第11オルドル

 #00:02 カストゥラーヌ La castelane
 #01:26 光輝、あるいはボンタン L'etincelante, ou La bontems
 #02:20 生まれながらの気品 Les graces-naturéles
 #03:50 ゼノビ La Zénobie
 
偉大にして古き吟遊詩人組合の年代記 Les fastes de la grande et ancienne Mxnxstrxndxsx
 #05:57 第1幕 吟遊詩人組合の名士と組合員 Premier Acte. Les Notables, et Jurés - Mxnxstrxndxnrs.
 #06:39 第2幕 ヴィエル弾きと乞食 Second Acte. Les Viéleux, et les Gueux.
 #07:40 第3幕 熊と猿を連れた旅楽師と軽業師と大道芸人 Troisième Acte. Les Jongleurs, Sauteurset Saltimbanques: avec les Ours, et les Singes.
 #08:05 第4幕 傷痍軍人、または偉大な吟遊詩人組合に属する○○○ Quatrième Acte. Les Invalides: ou gens Estropiés au service de la grande Mxnxstrxndxsx.
 #10:03 第5幕 酔っ払いと猿と熊の引き起こした無秩序と潰走 Cinquième Acte. Désordre, et déroute de toute la troupe: causés par les Yvro

http://www.nicovideo.jp/watch/sm37879550

癒し系ボイスブック「揺蕩海月～たゆたふくらげ～」
略して、「たゆくら」チャンネル

～幸せな気持ちになれるボイスブック～
女性声優の癒しボイス、クオリティ高いイラスト、独特の世界観を持ったシナリオにのせて、心温まる世界観に包まれた短編オムニバスストーリーをお送りします。

今回は、「初恋《RitsumiSide》～アイスドールの恋～」です。

主人公は、クールで一見冷めたように見える理津美。
彼女は、人を好きになることが無いと思っていた。
そんな彼女が、たった１度だけ好きになった男の子の思い出です。

＜キャスト＞
　［たゆくら製作委員会］
　　声優：文月水咲
　　ライター：ﾆｸｷｭｰP
　［イラスト協力］
　　嶋田美由(空想代理人達のアトリエ)

　＜公式Twitter＞
　　https://twitter.com/tayukura/
　＜公式Instagram＞
　　https://www.instagram.com/tayu.kura/
　＜公式TikTok＞
　　https://www.tiktok.com/@second_ward_nine/

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http://www.nicovideo.jp/watch/sm38057530

■star ocean the second story より stab the sword of justice　■1:38～　star ocean the last hope より stab the sword of justice (heroic remix)　■4:56～　star ocean&varkyrie profile arrange the best plus より stab the sword of justice　■桜庭氏の自曲アレンジを含めた3曲を続けてどうぞ　■mylist/15159149

http://www.nicovideo.jp/watch/sm7827850

昔はダブルしかしなかったのですが、良い機会なので全てのルールに挑戦してみようと思います。一応全てのルールでレート1800以上取るのが目標でローテとダブルとトリプルはもうすでに1800以上に到達できたんですが、このシューターとシングルは自分にとって鬼門になりそうです。とくにシングルは1600以上にもまだ行けてません；だれかシングル教えてorz　あとツイッター復活しました。使い方もう忘れてしまったんですが良かったらフォローお願いしますhttp://twitter.com/#!/ciufa1　BWマイリスmylist/23386277　バトレボマイリスmylist/10028241　ブログhttp://ameblo.jp/ciuffa

http://www.nicovideo.jp/watch/sm13754301

あれ？エアバ初投稿じゃね？
■ sm12023195 ← No20 | No22→ [未] ■ マイリスト mylist/15344256 ■
フラグムービー 『The Second Break』 sm11620053

http://www.nicovideo.jp/watch/sm14541020

Season1 sm19508419 / Class of '76 sm10686090 / Rebus series sm10708168 / Second Sight sm11064019 / PAINTED LADY sm11535912 / The Amazing Mrs. Pritchard sm11717598 / MURDER IN SUBURBIA sm12613998 / State of Play sm13151229 / Within State sm13171224 / FLOOD sm16480016 / The Office sm13839533 / Extras sm13842294 / McCallum sm14698855 / IDENTITY sm16495293 /SURVIVORS sm17690555 / LIFE ON MARS sm17729879 / sex traffic sm17876914 / ROSEMARY & THYME sm18746458 / LOOKING AFTER JoJo sm19061734

http://www.nicovideo.jp/watch/sm19509697

函館は日帰り( ˘ω˘ )




撮影：5月7日
機材：SONY HDR-AS300
　　　NC-750S DCT
　　　スマホのカメラ





今回走ってた場所周辺
https://www.google.co.jp/maps/@42.4414395,140.6768259,8.96z

前：sm31426425＜この動画＞次：sm31924657
mylist/57318223

http://www.nicovideo.jp/watch/sm31557630

ver1.16.5のワールドで魔術系のMODをメインに遊びます。
主な導入MOD：
・Ars Nouveau
・Mana and Artifice
・Nature's Aura
・Mahou Tsukai
・Elements of Power
・Theurgy
・Eidolon
・Occultism
・Schools of Magic : Second Semester
など


＜前：sm39798610　〈最初：sm37779150〉〈マイリス：mylist/69880609〉　＞次：sm40093713

http://www.nicovideo.jp/watch/sm39840297

PTと申します。

5月18日にフジテレビで放送された「漫才トーナメントTHE SCOND2024 グランプリファイナル」お笑い好きとしてしっかりリアルタイムでチェックしました。ガクテンソクは昔からずっと面白いと感じてきたのでここでの優勝はマジでアツかった！おじさん達の素晴らしいドラマを見させてもらいました。

コメントやTwitterなどでお便りも募集しておるのでどうぞよろしく。

PTalkマイリスト：mylist/70417741

【使用させて頂いている楽曲】
「No Drums,No Life」「風のコラージュ」：
フリーBGM・音楽素材MusMus https://musmus.main.jpより 

http://www.nicovideo.jp/watch/sm43817103

なんとか月一投稿を免れた・・・かな？

ライバルID:60930001763036

うp主のjubeat歴：knit appendから現在に至る

twtter:https://twitter.com/day551234

前パート：sm30553658　次パート：sm30746102 マイリスト：mylist/56110819

http://www.nicovideo.jp/watch/sm30680440

原田美世合作2の人の2作目です．
原田美世，知ってますか？
めっちゃいい子なんで，本作をきっかけに興味を持っていただけると嬉しいです．

はらみ好き好きさん，あずまの父ちゃんさん，広告ありがとうございます！

前作→sm30838251

http://www.nicovideo.jp/watch/sm31137706

はいどうも、くりあです。
スマートフォンアプリ Fate/Grand OrderFate/EXTRA CCCコラボ『深海電脳楽土 SE.RA.PH - Second ballet -』を動画に収録しました。
公式：http://www.fate-go.jp/
イベント期間：2019/02/20～2019/03/06

終幕 刻を裂くパラディオン(2/2)
そして戦いは終わり、残されたサーヴァントたちもSE.RA.PHとともに消える。
通常は英霊の座に帰ることになるのだが、BBちゃんやメルト、リップたちは……？
そしてカルデアに戻ったマスターは、SE.RA.PHでの一件がなかったことになっていることに気づく。
少しの寂しさを覚えながら通路を歩いていると、そこにいたのは――！？

アバンタイトル → sm34702667
終幕 Part.02 → sm34735685　ボトム・ブラック・アンコール！ → sm34741034

Fate/GO動画集 → mylist/59013332
FGOイベント一覧 → http://cleark.blog.jp/archives/9176906.html

http://www.nicovideo.jp/watch/sm34737058

アーティスト：The Stone Roses
アルバム：Second Coming

アルバムの曲を１曲ずつUPします
UP順は好きな曲から

前：sm33280010
次：sm33269579

mylist/62141689

http://www.nicovideo.jp/watch/sm33271021