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２階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題（その６）
前回からの続きで、Sobolev空間におけるエネルギー不等式を証明します。
今回までで、解の存在を示すための準備の議論は完了です。
スライド置き場（docswell）：
https://www.docswell.com/s/7467601950/ZJL7NE-2024-05-10-004222
参考文献：
・C. D. Sogge, Lectures on Non-Linear Wave Equations, Second Edition, International Press, 2013.
使用させていただいたもの：
・VRChatワールド：寺子屋 すらいでん（Kanipan（かにぱん）さん制作）
・Vroid衣装：【Vroid正式版】パーカーセット（もねこ屋。さん制作）、レースアップパンクショートブーツ【#Vroid カスタムアイテム】（みずきの仕立て屋さん制作）
・指示棒：PB指示棒（みみハウスさん制作）
２階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題（その５）
今回から、変数係数の２階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題について、Sobolev空間における解の存在と一意性を示していきます。
まずは鍵となるSobolev空間でのエネルギー不等式を示していきます。
スライド置き場（docswell）：
https://www.docswell.com/s/7467601950/ZQ8V13-2024-04-01-230341
参考文献
・C. D. Sogge, Lectures on Non-Linear Wave Equations, Second Edition, International Press, 2013.
・R. Racke, Lectures on Nonlinear Evolution Equations, Initial Value Problems, Second Edition, Birkhauser, 2015.
・溝畑茂，偏微分方程式論，岩波書店，1965.
使用させていただいたもの：
・VRChatワールド：寺子屋 すらいでん（Kanipan（かにぱん）さん制作）
・Vroid衣装：【Vroid正式版】パーカーセット（もねこ屋。さん制作）、レースアップパンクショートブーツ【 #VRoid カスタムアイテム】（みずきの仕立て屋さん制作）
・指示棒：PB指示棒（みみハウスさん制作）
２階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題（その４）
変数係数の双曲型偏微分作用素に対するエネルギー不等式を示します。
スライド：https://www.slideshare.net/MuiKanarine/linhyppdf
（最後のページに記号表もあります）
参考文献
・井川満，双曲型偏微分方程式と波動現象，岩波書店，2006年．
・C. D. Sogge, Lectures on Non-Linear Wave Equations, Second Edition, International Press, 2013.
使用させていただいたもの：
VRChatワールド：寺子屋 すらいでん （Kanipan（かにぱん）さん制作）
Vroid衣装：もこもこルームウェア【VRoid Texture】（HulaFlatWorksさん制作）
指示棒：PB指示棒（みみハウスさん制作）
２階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題（その3）
ダランベール作用素に関するエネルギー不等式を証明します。
次回に一般の２階線形双曲型偏微分作用素に対するエネルギー不等式を示すための練習を兼ねています。
参考文献
・井川満，双曲型偏微分方程式と波動現象，岩波書店，2006年．
・C. D. Sogge, Lectures on Non-Linear Wave Equations, Second Edition, International Press, 2013.
使用させていただいたもの：
VRChatワールド：寺子屋 すらいでん （Kanipan（かにぱん）さん制作）
Vroid衣装：もこもこルームウェア【VRoid Texture】（HulaFlatWorksさん制作）
指示棒：PB指示棒（みみハウスさん制作）
２階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題（その２）
２階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題について、弱解を定義していきます。
参考文献
・井川満，双曲型偏微分方程式と波動現象，岩波書店，2006年．
・C. D. Sogge, Lectures on Non-Linear Wave Equations, Second Edition, International Press, 2013.
・垣田高夫，シュワルツ超関数入門（新装版）日本評論社，1999年．
超関数や多重指標の記法、Sobolev空間の導入などについてはこの本が分かりやすいです。
・宮寺功，関数解析 (ちくま学芸文庫)，2018年．
Bochner積分の定義と基本的性質についてはこの本が分かりやすいです。
参考動画
超関数、Sobolev空間については以下の動画でも手軽に概要を知ることができます。
・超関数論への誘い 15分でわかる超関数の考え方
Hitoshi Arai, 数理科学デジタルオープンレクチャーズ
https://youtu.be/ehbK0mL0xUI
・ソボレフ空間入門 -基礎から埋め込み定理とその応用まで（証明も解説）
Hitoshi Arai, 数理科学デジタルオープンレクチャーズ
https://youtu.be/E0eBvfRIpc4
使用させていただいたもの：
VRChatワールド：寺子屋 すらいでん （Kanipan（かにぱん）さん制作）
Vroid衣装：もこもこルームウェア【VRoid Texture】（HulaFlatWorksさん制作）
指示棒：PB指示棒（みみハウスさん制作）
２階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題（その１）
このシリーズでは、２階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題の適切性（解の存在・一意性・初期値連続依存性）を証明していきます。
参考文献
井川満，双曲型偏微分方程式と波動現象，岩波書店，2006年．
C. D. Sogge, Lectures on Non-Linear Wave Equations, Second Edition, International Press, 2013.
使用させていただいたもの：
VRChatワールド：寺子屋 すらいでん （Kanipan（かにぱん）さん制作）
Vroid衣装：もこもこルームウェア【VRoid Texture】（HulaFlatWorksさん制作）
指示棒：PB指示棒（みみハウスさん制作）
空間n次元波動方程式（３）解の各点評価（その４）
偶数次元の場合の各点評価の証明後半です。
スライド置き場（SlideShare）
https://www.slideshare.net/MuiKanarine/ndwave10pdf
空間n次元波動方程式（３）解の各点評価（その３）
偶数次元の場合の各点評価の証明（前半）です。
スライド置き場：
https://www.slideshare.net/MuiKanarine/ndwave9pdf
空間n次元波動方程式（３）解の各点評価（その２）
空間次元 n が 3 以上の奇数の場合に各点評価（Theorem 5）を証明していきます。
スライド置き場：
https://www.slideshare.net/MuiKanarine/ndwave8pdf
証明内で使っている奇数次元の解表示については、
空間n次元波動方程式 (1) 初期値問題の解（その１）：
https://www.nicovideo.jp/watch/sm41155782
およびそれに続く動画で解説しています。
Multi-index（多重指数）記法については Wikipedia の記事：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E6%8C%87%E6%95%B0
や多くの偏微分方程式の教科書に説明があります。
空間n次元波動方程式 (3) 解の各点評価（その１）
波動方程式の初期値問題の解の各点評価について解説していきます。
今回は示したい定理の主張と、いくつかの注意および、一番簡単な1次元の場合の証明だけを述べます。
スライド置き場（SlideShare）：
https://www.slideshare.net/MuiKanarine/ndwave7pdf
参考文献
[1] C. D. Sogge, Lectures on Non-Linear Wave Equations, Second Edition, International Press of Boston, Inc., 2013.
定理の主張はこの本の Chapter 1, Section 1 から取ってきました。
[2] R. Racke, Lectures on Nonlinear Evolution Equations, Initial Value Problems, Birkhäuser, Cham., 2015.
定理の証明（解説は次回以降）はこの本の Chapter 2 を参考にしました。
空間n次元波動方程式 (2) 有限伝播性とHuygensの原理
前回までで導出した解表示から、一般次元での波動方程式の初期値問題の解の有限伝播性を証明します。
また、3以上の奇数次元ではさらにHuygensの原理が成立することを示します。
スライド置き場（SlideShare）:
https://www.slideshare.net/MuiKanarine/ndwave6pdf
空間n次元波動方程式 (1) 初期値問題の解（その５）
偶数次元の波動方程式の解表示をHadamardの変数低減法を用いて導出します。
初期値問題の解表示の話は今回で最後です。
SlideShare
https://www.slideshare.net/MuiKanarine/ndwave5pdf
空間n次元波動方程式(1) 初期値問題の解（その４）
奇数次元(n≧3)の波動方程式の解表示を導出します。
SlideShare:
https://www.slideshare.net/MuiKanarine/ndwave4pdf
空間n次元波動方程式 (1) 初期値問題の解（その３）
前回導いたEuler-Poisson-Darboux方程式を解くため、技術的な補題を準備します。
SlideShare:
https://www.slideshare.net/MuiKanarine/ndwave3pdf
空間n次元波動方程式 (1) 初期値問題の解（その２）
（音量注意！）前回の動画から音量を調整して大きくしてありますので、シリーズで再生する場合は音量に注意してください。
球面平均法により、波動方程式の解の球面平均がEuler-Poisson-Darboux方程式の解となることを示します。
SlideShare:
https://www.slideshare.net/MuiKanarine/ndwave2pdf
空間n次元波動方程式 (1) 初期値問題の解（その１）
一般次元（n次元）の波動方程式に対し、初期値問題の解表示を導出します。
まずは議論の方針のみ説明し、次回以降で順番に詳細を解説していきます。
SlideShare:
https://www.slideshare.net/MuiKanarine/ndwave1pdf
参考文献
G. B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, Second Edition, Princeton University Press, 1996.
この本のChapter 5の議論に沿って、行間を埋めながら解説していく予定です。
L. C. Evans, Partial Differential Equations, Second Edition, American Mathematical Society, 2010.
この本のSection 2.4も同じ方針で解表示を導いていますが、n=2,3の場合をまず考察するなどFollandの本よりも少し丁寧な解説がされています。
谷島賢二, 数理物理入門 改訂改題, 東京大学出版, 2018年.
日本語の本で一般次元の解表示の導出が書かれている本としてこの本があります。
ただし議論はFourier変換を用いるもので、ここで解説している方法とは異なります。
空間1次元波動方程式 (6) 最大値原理
空間1次元波動方程式に対する最大値原理の証明と、低階項を付け加えた微分不等式に対する一般化を行います。
参考文献
M. Protter, H. F. Weinberger, Maximum Principles in Differential Equations, Springer, 1984.
空間1次元波動方程式 (5) 解のエネルギーの等分配
波動方程式の解のエネルギーについて、時間無限大の極限において運動エネルギーとポテンシャルエネルギーが全エネルギーのちょうど半分ずつの値に収束するというエネルギー等分配の性質を証明します。
参考文献
[1] A. R. Brodsky, On the asymptotic behavior of solutions of the wave equations, Proc. Amer. Math. Soc. 18 (1967), 207--208.
この原論文ではより一般のKlein-Gordon型の方程式に対して、Fourier変換を使う方法でエネルギー等分配が示されています。
教科書での参考文献としては以下の2つがあります。
[2] L. C. Evans, Partial Differential Equations, Second Edition, American Mathematical Society, 2010.
[3] F. Linares, G. Ponce, Introduction to Nonlinear Dispersive Equations, Second Edition, Springer, 2015.
これらの本の演習問題としてBrodskyの結果が証明されています。
この動画では、[2]にある方針で、演習問題の仮定を少しだけ弱めた形（初期値の台のコンパクト性を仮定しない形）で証明を与えました。
ご質問への回答
「ここまでずっと空間1次元な系の話題だけど2,3次元だと成り立たない定理もあるんですか？」
まず、これまで見てきたエネルギー保存、有限伝播性や今回のエネルギー等分配は2次元以上でも成立します。
ただし、次元が上がるにつれて、初期値に必要な滑らかさの仮定が強くなっていきます。
ここは1次元の場合と異なると言えます。
（2,3次元では、C^2級の解を得るのにu_0はC^3級, u_1はC^2級必要、といった具合です）
他に次元に応じて変わる有名な性質としては、Huygensの原理（3以上の奇数次元でのみ成立）があります。
これはそのうち動画でも紹介しようと思っています。
空間1次元波動方程式 (2) d’Alembertの公式
空間1次元の波動方程式の初期値問題の解を与えるd’Alembertの公式を導出します。
コメントへの返答
>波動方程式の話題なら物理学タグつけたら需要ある人たちの目に留まるかもしれない
ありがとうございます！タグ追加しました。
空間1次元波動方程式 (1) 波動方程式の導出
新人Vtuberの奏理音（かなりね）ムイです。
このチャンネルでは、解析学、特に偏微分方程式論の解説をしていく予定です。
今回は空間1次元の波動方程式の導出についてお話しします。
ご質問への回答：
>声ががびがびなのはボイチェン使ってるから？
そうです。Voidol 2 というボイチェンアプリを使っています。
もうちょっと調整して音質改善していきたいですね。
【役に立たない？】26.弦振動の数理【三角関数】
ぎりぎり今年中に間に合いました。
それではみなさん、良いお年を！
※動画中に厳密ではない表現や、単純に勘違いや間違いが含まれる可能性もありますので、ご了承の上、ご視聴ください。
。
VRアカデミア：https://sites.google.com/view/vr-academia/
応用数学解説系qVtuberのにしあかねです：https://www.youtube.com/watch?v=Ya1ccccWI4s
YouTube版：https://www.youtube.com/watch?v=g9rwuydNwaI
Twitter：Takato_qVtuber
今回のお話：波動方程式、偏微分方程式、Taylor展開（テーラー展開、テイラー展開）、２階線形常微分方程式、三角関数
＜企画＞まじっくあわ～
＜プロット＞KI(@KI_ShockedPanda)、IdeK、誰彼人、ふ～
＜感謝をさせて頂きたい方々＞動画に記載
＜微分方程式に関して参考にした動画＞mylist/57223089
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＜他の解説とか＞mylist/59068341
＜他の動画とか＞mylist/58010751
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