【ブラックショールズ方程式への道⑥】伊藤の公式のこころを理解する【確率微分方程式の基礎】#VRアカデミア #045
- 2020/03/13 20:00:00 投稿
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ご視聴ありがとうございます！伊藤の公式について、より直感的に深く理解するための動画です。見てすぐは混乱があるかもしれませんが、この動画の内容を自分なりに解釈できたときこそが、伊藤の公式を理解できたときだと思います。演習問題のヒント：演習①X : 平均 0、分散 b^2 σ^2 t の正規分布に従う確率変数→ E(e^X) = exp( b^2 σ^2 t / 2) を示せ。方針∫_{-∞}^{+∞} e^x (1/2π b^2 σ^2 t)^{1/2} e^{ -x^2 / (2b^2 σ^2 t)} dxを計算すれば OK 。To 高校生： ∫_{-∞}^{+∞} (1/2π b^2 σ^2 t)^{1/2} e^{ -x^2 / (2b^2 σ^2 t)} dx = 1 と、置換積分を用いると、この積分も計算できます。演習②a - b^2 σ^2 / 2 ＜ 0 のとき、lim_{t → +∞} p( x(t) ＞ x_0 ) = 0 を示せ方針x(t) ＞ x_0⇔ (a - b^2 σ^2 / 2) t + bw(t) ＞ 0⇔ w(t) ＞ - ( (a - b^2 σ^2 / 2) / b ) tここで、 w(t) は平均 0 分散 σ^2 t の正規分布に従うので、両辺√(σ^2 t) で割って正規化すると、⇔ w(t) / √(σ^2 t) ＞ - ( (a - b^2 σ^2 / 2) / (b √σ^2) ) √tt → +∞ でこれが成立する確率は...？参考文献：【今日紹介したのはこれ】確率システム入門 (システム制御情報ライブラリー) : https://amzn.to/2xd9Y8d 確率微分方程式 | B.エクセンダール : https://amzn.to/2Fx1fSKsm36475890 ← 前（ブラックショールズ方程式の解法） | 次 → 来週！マイリスト： mylist/63728342